Вычислительная среда MathCAD является универсальным инструментом у тех людей, которые плотно связали свою жизнь с вычислениями. "Маткад" способен производить сложные математические расчеты и мгновенно выдавать ответ на экране. У студентов, или тех, кто в первый раз столкнулся с этой программой, возникает множество вопросов, на которые они не могут дать ответ самостоятельно. И первое, что затрудняет дальнейшее обучение, - это вопрос, как построить график функции в "Маткаде". На самом деле это не так сложно, как может показаться. Постараемся разобраться также в том, как в "Маткаде" (MathCAD 15) построить график функции, как изобразить несколько функций и с помощью каких элементов отобразить графика на экране.
Быстрый график в Mathcad
Вам будет интересно:
Возьмем одну функцию и будем проводить все ниже перечисленные операции с ней. Допустим, имеем следующее техническое задание: построить график функции f(x) = (e^x/(2x-1)^2)-10 на интервале [-10;10], исследовать поведение функции.
Итак, перед тем, как построить график функции в "Маткаде", необходимо переписать нашу функцию в математическую среду. После этого просто прикинем возможный график без масштабирования и всего прочего.
Вот как построить график функции в "Маткаде".
Построение дополнительных графиков
Чтобы понять, как построить несколько графиков функции в "Маткаде", добавим к нашему техническому заданию небольшое дополнение: построить график производной от заданной функции. Единственное, что нужно, - это в поле графика добавить производную по переменной (x).
График, построенный по набору значений
Перед тем как построить график функции в "Маткад 15" по точкам, необходимо создать диапазон значений. Сразу отметим, что график, построенный по точкам, иногда бывает не точным, так как может найтись такая точка, которая не попадет в диапазон значений, но в оригинальном графике в ней происходит разрыв. В этом примере специально будет показан этот случай.
Нам необходимо задать диапазон значений. Для этого присвоим значения переменной (x:=-10,-8.5.. 10). Когда пользователь будет задавать диапазон, ему следует знать, что двоеточие ставится через символ (;). Теперь для визуального восприятия отобразим все значения (х) и f(x) в программе. Для этого необходимо ввести (х=) и, соответственно, (f(x)=). Теперь заново построим график функции, только в этот раз по точкам.
Мы видим, что на графике, построенного по точкам, не отображается та точка, которая осуществляет разрыв на исходном графике. То есть, можно сделать вывод о том, что построение по точкам может не учитывать значение функции, которые создают разрыв.
Настройка отображения графика
В этой статье мы уже затрагивали настройки графика. Окно с настройками вызывается по двойному нажатию левой кнопкой мыши по графику.
В окне форматирования графика есть пять разделов. "Оси X, Y" содержит информацию о координатных осях, а также отображения вспомогательных элементов. Второй раздел "Трассировка" связан с кривыми линиями построения графика, здесь можно корректировать их толщину, цвет и другое. "Формат числа" отвечает за отображение и расчет единиц. В четвертом разделе можно добавлять подписи. Пятый раздел - "По умолчанию" выводит все настройки в стандартную форму.
Программа MathCAD обеспечивает стабильное поддержание своих функций уже долгие годы. В этой вычислительной среде работают экономисты, ученые, студенты и другие специалисты, владеющие прикладной и аналитической математикой. Так как математический язык понятен не всем, и не каждый способен за быстрое время его изучить, программа становится сложной для восприятия начинающих пользователей. Нагруженный интерфейс и большое количество нюансов отталкивают людей от использования этого продукта, но на самом деле разобраться в любой рабочей среде возможно - достаточно иметь желание. В этой статье разберем такую важную тему, как построение графиков функций в "Маткаде". Это несложная процедура, которая очень часто помогает при расчетах.
Типы графиков
Помимо того что в MathCAD определены быстрые графики, которые вызываются с помощью горячих клавиш, существуют и другие графические приложения. Например, пользователь может в шапке программы найти раздел "Вставка", а в ней - подраздел "График", в котором можно просмотреть все доступные графики в "Маткаде":
- График X-Y - показывает зависимость одной величины от другой. Самый распространенный тип, который позволяет быстро оценить и исследовать зависимости.
- Полярный график - использует полярные координаты. Суть графика - показать зависимость одной переменной от другой только в полярной координатной плоскости.
- График поверхности - создает поверхность в пространстве.
- Векторное поле, 3-D график разброса, столбчатая 3-D диаграмма используются для других специальных целей.
Построение графика функции
Невозможно научиться работать с вычислительной средой без примеров, поэтому будем разбираться в MatchCAD на шаблоне.
Допустим, задана функция f(x) = (e^x/(2x-1)^2)-10 в интервале [-10;10], которую необходимо построить и провести исследование. Прежде чем приступить к построению графика функции, необходимо данную функцию перевести в математический вид в самой программе.
- После того как функция была задана, следует вызвать окно быстрого графика клавишей Shift + 2. Появляется окошечко, в котором расположены 3 черных квадратика по вертикали и горизонтали.
- По вертикали: самый верхний и нижний отвечают за интервалы значений, которые можно регулировать, средний задает функцию, по которой пользователь может построить график в "Маткаде". Крайние черные квадратики оставляем без изменения (значения автоматически присвоятся после построения), а в средний пишем нашу функцию.
- По горизонтали: крайние отвечают за интервалы аргумента, а в средний нужно вписать "х".
- После проделанных шагов нарисуется график функции.
Построение графика по точкам в "Маткаде"
- Зададим диапазон значений для аргумента, в рассматриваемом случае x:=-10,-8.5.. 10 (символ ".." ставится при нажатии на клавишу ";").
- Для удобства можем отобразить получившиеся значения "х" и "у". Для первого случая используем математическую формулировку "х=", а для второго - "f(x)". Наблюдаем два столбика с соответствующими значениями.
- Построим график, используя сочетание клавиш Shift + 2.
Заметим, что та часть графика, которая устремлялась вверх, исчезла, а на месте нее образовалась непрерывная функция. Все дело в том, что в первом построении функция претерпевала разрыв в некой точке. Второй график был построен по точкам, но, очевидно, что точка, которая не принадлежала графику, не отображена здесь - это одно из особенностей построения графиков по принципу точек.
Табуляция графика
Чтобы избавится от ситуации, где функция претерпевает разрыв, необходимо протабулировать график в "Маткаде" и его значения.
- Возьмем известный нам интервал от -10 до 10.
- Теперь запишем команду для переменного диапазона - x:=a,a + 1 .. b (не стоит забывать, что двоеточие - результат нажатия клавиши ";").
- Смотря на заданную функцию, можно сделать вывод о том, что при значении "х=1" будет происходить деление на ноль. Чтобы без проблем протабулировать функцию, стоит исключить эту операцию так, как показано на картинке.
- Теперь можно наглядно отобразить значения в столбиках, как мы это делали с построением по точкам. Табуляция выполнена, теперь все значения с шагом в одну единицу соответствуют своим аргументам. Обратите внимание, что на "х=1" значение аргумента не определенно.
Минимум и максимум функции
Чтобы найти минимум и максимум функции на выбранном участке графика в "Маткаде", следует использовать вспомогательный блок Given. Применяя этот блок, необходимо задать интервал поиска и начальные значения.
- В рассматриваемом случае начальное значение x:=9.
- Запишем рабочую команду для поиска максимального значения - X max =Maximize(f,x) и вычисляем значение через знак равенства.
- Через блок Given запишем условие для x.
- Задаем минимум функции по аналогии с максимумом.
- Результаты получились следующими: значение минимума на графике с указанным интервалом f(x) = 2,448*10 198 , а значение минимума f(x) = -10.
F(x,y) в Mathcad, функция предварительно представляется матрицей М ординат F(x,y) . При этом выводится шаблон графика, левый верхний угол которого помещается в место расположения курсора. Шаблон содержит единственное поле - темный прямоугольник у левого нижнего угла основного шаблона. В него надо занести имя матрицы М или имя функции F при автоматическом построении матрицы. Наглядность представления трехмерных поверхностей в Mathcad зависит от множества факторов: масштаба построений, углов поворота фигуры относительно осей, применения алгоритма удаления невидимых линий или отказа от него, использования функциональной закраски и т.д. Для изменения этих параметров в Mathcad следует использовать операцию установки формата графика. При построении трехмерных поверхностей и объемных фигур можно использовать параметрическое задание описывающих их функций. Фигуры задаются значениями координат х, у и z всех точек фигуры. При этом в шаблоне 3D-графики Mathcad указываются три матрицы, хранящие массивы этих координат, - X, Y и Z . На листинге приведены примеры построения графиков поверхностей.
В Mathcad можно изменять заданные по умолчанию параметры графиков. Для этого необходимо вызвать окно диалога форматирования трехмерных графиков (3-D) двойным щелчком мыши по полю графика. Диалоговое окно 3-D Plot Format содержит множество флажков для выбора режима построения графика и девять закладок:
- Backplanes (Основание);
- Special (Специальный);
- Advanced (Дополнительно);
- QuickPlotData (Графические данные);
- General (Общее);
- Axes (Ось);
- Appearance (Внешний Вид);
- Lighting (Освещение);
- Title (Название).
Ограничимся рассмотрением одной вкладки, представленной на рис., - General (Общее). Первый комплект чисел в разделе View (Вид) показывает Rolation (Вращение) , Tilt (Наклон) , Twist (Искривление) , Zoom (Масштаб) , под которыми наблюдается построенный график поверхности. Далее в разделе Axes Style (Стиль оси) имеется ряд переключателей и флажок для выбора стиля изображения размеров графика:
- Perimetr (периметр) – выводит график с размерами по периметру;
- Corner (угол) – выводит график с размерами по осям;
- None (нет) – выводит график без размеров по периметру и по осям;
- Equal scales (равные шкалы) – установка по осям равных масштабов. В пункте Frames (Границы графика) определяется обрамление графика:
- Border (границы) – показывает границы графика;
- Show Box (каркас) – показывает график в виде параллелепипеда. На панели переключателей Plot 1 (График 1) можно выбрать одну из форм представления трехмерного графика. При работе с панелями настройки параметров изображения можно посмотреть результат, полученный при изменении параметра изображения, не закрывая панели. Для этого после изменения параметра щелкните по кнопке Применить. Для возвращения в документ щелкните мышью по кнопке ОК.
Графические возможности в математическом пакете Mathсad позволяют создавать:
- контурный график - поверхностей одинакового уровня (изолинии);
- график в виде точек в трехмерном пространстве ;
- столбиковую гистограмму;
- графика векторного поля на плоскости .
Данные графические зависимости носят специализированный характер, и это предопределяет их более узкое использование на практике. Контурный график в Mathcad представляет собой совокупность линий, каждая из которых соответствует одинаковому значению функции, зависящей от двух переменных (изолинии). Такие функции получили широкое распространение в картографии, геодезии, океанологии, экологии и т. д. Последовательность построения контурного графика следующая. Сначала вводится функция двух переменных f(x,y) . Далее определяются значения хi , yj , задающие дискретные точки по осям х, у . Заполняется матрица М значениями f(хi,yj) . Отображается матрица М в виде карты изолиний. На листинге приведен пример построения контурного графика.
Форматирование изображения (количество линий уровня их значения, заливка) в Mathcad производится посредством диалогового окна 3-D Plot Format (Форматирование) , которое представлено на рис. Переключатели диалогового окна позволяют сформировать дизайн графика. Например, переключатели группы Contour Options (Контурные опции) устанавливают следующие опции графика:
- Fill (Залить) – обеспечивают закраску графика согласно цветовой палитры.
- Draw Lines (Рисовать линии) – позволяет отображать на графике лини уровня.
- Auto Contour (Автоконтур) – количество линий контура выбирается автоматически.
- Numbered (Пронумерованные) – на линии уровня выносятся их числовые значения.
На листинге представлены графики функций, демонстрирующие графические возможности в Mathсad при построении столбиковых гистограмм, точечных диаграмм, векторного поля. Один вид 3-D диаграмм функции 2-х переменных может быть трансформирован в другой вид посредством вкладки General (Общее) диалогового окна 3-D Plot Format . Для преобразования диаграммы в другой вид необходимо выделить график и установить соответствующий переключатель группы Display As . При этом диаграмма принимает вид, соответствующий установленному переключателю:
- Surfase Plot – график поверхности.
- Contour Plot – контурный график.
- Data Points – точечный график.
- Vector Fields Plot – векторное поле.
- Bar Plot – столбиковая гистограмма.
- Patch Plot – “Кусочный” график (совмещенный график поверхности и точечный график).
График в декартовой системе координат в Mathcad представляет собой незаполненный шаблон в виде большого прямоугольника с темными маленькими прямоугольниками, расположенными около осей абсцисс и ординат будущего графика.
В средние прямоугольники надо поместить имя аргумента x оси абсцисс и имя функции у оси ординат. Если в Mathcad строятся графики нескольких функций в одном шаблоне, то для их разделения следует использовать запятые. Крайние темные маленькие прямоугольники служат для указания предельных значений абсцисс и ординат, т.е. они задают масштабы графика. Если оставить эти шаблоны незаполненными, то в Mathcad масштабы по осям графика будут устанавливаться автоматически. Но автоматические масштабы могут оказаться не вполне удобными. Поэтому рекомендуется вначале использовать автоматическое масштабирование, а затем изменять их на более подходящие. На листинге показаны пример построения графиков.
Чтобы произошло построение графика в автоматическом режиме вычислений в Mathcad, достаточно вывести курсор за пределы графического объекта. Параметры изображения (цвет и толщина линий, координатная сетка, разметка осей, надписи на графиках и др.) проще всего изменить, щелкнув дважды по полю графика. В результате активизируется диалоговое окно “Форматирование ”, на котором в Mathcad выбирается соответствующая вкладка и устанавливаются параметры настройки графика. Возможно отображение на одном шаблоне графиков функций от различных переменных. В этом случае, количество переменных и функций, их имена и порядок следования должны быть синхронизированы.
Графики в полярной системе координат в Mathcad
Графики в полярной системе координат в Mathcad строятся аналогично графикам в декартовой системе координат. Но при этом необходимо учитывать специфику самих функций. В полярной системе координат при активизации шаблона графика, рабочее поле представлено окружностью. В нижней части шаблона задается имя угловой переменной, в левой части - имя функции, определяющей радиус как функцию угла. В правой верхней части расположены два поля для задания нижнего и верхнего значения радиуса. В Mathcad возможно отображение нескольких функций в рабочем поле графика. Для этого имена функций так же вводятся через запятую. На листинге представлены примеры отображения функций в полярной системе координат. Предусмотрена возможность форматирования графиков функций путем вывода шкал радиальных, круговых, вспомогательных линий и т.д. Форматирование в Mathcad обеспечивается с помощью инструментов диалогового окна Форматирование, которое активизируется двойным щелчком мыши по полю графика.
Построение графиков в полярной системе координат
Для построения в Mathcad трехмерной поверхности F(x,y) функция в начале представляется матрицей М координат F(x,y) ...
Построение поверхностей
Для построения трехмерной поверхности F(x,y) ...
Дополнительные графические возможности
В данном разделе показаны графические возможности Mathсad по созданию контурного графика..
Если у Вас на ноутбуке не выводятся графики поверхности или 3D графики в Mathcad, то как это устранить?
Одна из причин не отображения графиков поверхности или 3D графиков это "Качество цветопередачи ".
Для вывода окна форматирования двумерного графика достаточно поместить указатель мыши в область графика и дважды щелкнуть левой кнопкой мыши. В окне документа появится окно форматирования. Оно имеет ряд вкладок. Вкладка становится активной, если установить на ее имя указатель мыши и щелкнуть левой кнопкой.
Как видно на рисунке окно форматирования имеет четыре вкладки:
- оси Х-У- задание параметров форматирования осей;
- линии графика – задание параметров форматирования линий графика;
- надписи – задание параметров форматирования меток осей;
- по умолчанию – назначение установленных параметров форматирования параметрами по умолчанию.
1. Форматирование осей графика.
На вкладке Х-У оси содержатся следующие основные параметры, относящиеся к осям Х и У (Axis Х и Axis У):
- Логарифмический масштаб– установление логарифмического масштаба;
- Линии сетки – установка линий масштабной сетки;
- Пронумеровать – установка цифровых данных по осям;
- Автомасштаб – автоматическое масштабирование графика;
- Нанести риски – установка делений по осям;
- Автосетка – автоматическая установка масштабных линий;
- Число интервалов – установка заданного числа масштабных линий.
Группа Стиль осей позволяет задать стиль отображения координатных осей:
- Рамка – оси в виде прямоугольника;
- Визир – оси в виде креста;
- Ничего – отсутствие осей;
- Равные деления – установка одинакового масштаба по осям графика.
2. Форматирование линий графиков.
Эта вкладка служит для управления отображением линий, из которых строится график. На этой вкладке представлены следующие параметры:
- Метка легенды – выбор типа линии в легенде;
- Символ – выбор символа, который помещается на линию, для отметки базовых точек графика;
- Линия – установка типа линии;
- Цвет – установка цвета линии и базовых точек;
- Тип – установка типа графика;
- Толщина – установка толщины линии.
Узловые точки (точки, для которых вычисляются координаты) графиков часто требуется выделить какой-нибудь фигурой. Список столбца Symbol позволяет выбрать следующие отметки для базовых точек графика каждой из функций:
- ничего– без отметки;
- x’s – наклонный крестик;
- +’x – прямой крестик;
- квадрат– квадрат;
- ромб – ромб;
- o’s – окружность.
Список в столбце Линия позволяет выбрать типы линий: непрерывная, пунктирная, штрих-пунктирная.
Раскрывающейся список столбца Type позволяет выбрать следующие типы линий графика:
- линия – построение линиями;
- точки – построение точками;
- интервалы – построение вертикальными черточками с оценкой интервала погрешностей;
- столбец – построение в виде столбцов гистограммы;
- ступенька – построение ступенчатой линией;
- протяжка – построение протяжкой от точки до точки.
3. Задание надписей на графиках.
Эта вкладка позволяет вводить в график дополнительные надписи. Для установки надписей служат поля ввода:
- Заголовок – установка титульной надписи к рисунку;
- Ось X – установка надписи по оси Х;
- Ось Y – установка надписи по оси У.
В группе Заголовок имеются переключатели сверху и снизу для установки титульной надписи либо над графиком, либо под ним.
4. Параметры графиков по умолчанию.
Вкладка "По умолчанию" позволяет назначить установленные на других вкладках параметры форматирования параметрами по умолчанию. Для этого служит флажок установки "использовать по умолчанию". Щелкнув на кнопке "вернуть значения по умолчанию" можно вернуть стандартные параметры графика.
Постройте график функции p(x)=5*x^6-3, задав свой цвет и стиль кривой.
А теперь рассмотрим, как на одном рисунке отобразить несколько графиков , например у=2*cos(x), y=sin(x)^2 и y=x.
Алгоритм выглядит так:
Постройте на одном рисунке графики функций у=х^2+2*х, у=tg(x), y=x-5.
После того, как мы освоили построение двумерных графиков одной или нескольких функций, рассмотрим построение графиков поверхностей (трехмерные или 3D-графики). С помощью системы MathCad такие графики строятся даже проще, чем двумерные.
Построим график функции z(x,y)=x^2 + y^2, для этого:
Постройте график функции z=cos(x)+sin(y).
| Карта сайта | На первую страницу | Поиск | О проекте | Сотрудничество | e-mail |
В этом уроке мы рассмотрим варианты графиков, доступных в PTC Mathcad Prime 3.0.
Типы графиков
Чтобы изменить тип графика, нажмите на него, затем выберите на вкладке Графики –> Кривые –> Изменить тип. Ниже представлены рисунки четырех типов графиков для функции:
В списке есть еще некоторые типы осей – некоторые из них мы будем использовать позднее.
Несколько графиков на одних осях
Чтобы добавить кривую на оси, поместите курсор после обозначения легенды оси Y графика и нажмите Графики –> Кривые –> Добавить кривую. Появится еще один местозаполнитель для оси Y:
Вы можете добавить больше графиков с помощью этой же команды.
С помощью вывода нескольких графиков на одни оси мы посмотрим различные настройки из меню Графики –> Стили. Для этой цели мы создадим оси с пятью различными прямыми линиями. Каждая линия содержит 11 точек:
Ниже этих выражений вставьте график XY, затем добавьте четыре легенды для оси Y. В местозаполнителе для оси Xвведите x – для всех пяти графиков будет использоваться одна легенда по оси X. В последний местозаполнитель для оси Y введите y:
Выше следует ввести y:
Параметрический график
Этот график окружности построен с использованием параметра t :
Графики в логарифмическом масштабе
Логарифмический масштаб часто используется в различных областях науки и техники. Построение графиков в логарифмическом масштабе доступно в Mathcad.
Построим график функции y= x 2 , но с использованием параметра:
Чтобы сделать ось X логарифмической, выберите легенду оси X и нажмите Графики –> Оси –> Логарифмический масштаб. Проделайте то же самое для оси Y. В логарифмическом масштабе эта функция представляет собой прямую линию:
Резюме
В этом уроке мы показали, как можно модифицировать двумерные графики.
- Чтобы изменить тип кривой, нажмите на его легенду по оси Y и выберите Графики –> Кривые –> Изменить тип.
- Чтобы добавить кривую:
- поместите курсор на легенду оси Y;
- нажмите Графики –> Кривые –> Добавить кривую.
- Чтобы изменить символы, цвет, стиль или толщину кривой, нажмите по легенде оси Y соответствующего графика и настройте график с помощью меню Графики –> Стиль.
- Чтобы промасштабировать график, разделите легенду соответствующей оси на коэффициент масштабирования.